Utilisation du graphique

Le graphique représente la courbe d’évolution pour le COVID-19 du:

1. Nombre total de cas (axes de gauche)
2. Nombre de nouveaux cas (axes de droite)
3. Nombre total de décés (axes de droite)
4. Nombre de nouveaux décés (axes de droite)

La partie haute du graphique permet de:

• Selectionner le pays d’affichage des courbes

• Afficher les prédictions du nombre total de cas suivant le modèle décrit dans la section suivante.

• Visualiser la prédiction faite au jour \(j-valeur \ slider\). Par exemple lorsque le valeur du slider est 3, la courbe affichée correspond à la prédiction du nombre total de cas calculée 3 jours plus tôt.

Source de données

Les données proviennent du Centre européen de prévention et contrôle des maladies. Ce centre publie chaque jour des statistiques sur l’évolution de l’épidémie du COVID-19 dans le monde. Site de l’ECDC, lien vers les données.

Prédictions

La prédiction du nombre total de personne atteinte par le COVID-19 est estimée avec le modèle de Verhulstthe. Ce modèle fut originalement proposé pour modèliser des phénomènes de croissance comme l’évolution de la population mondiale. Le modèle suppose que le nombre total de cas du COVID-19 suit la loi:

\[f(t)=K \frac{1}{1+e^{-r(t - t_0)}}\]

\(\cdot \ t_{0}=\) Le point d’inflexion de la croissance
\(\cdot \ K=\) La capacité, ici le nombre maximum de personnes pouvant être infectées
\(\cdot \ r=\) Le taux de croissance de la fonction

Ajustement du modèle

Le modèle est ajusté pour minimiser l’erreur quadratique moyenne (MSE):

\[(t_0^{\star}, K^{\star}, r^{\star}) \in argmin \sum_{i=1}^{n}\big(y_i - f(t_i)\big)^2\]

Quand la capacité K du modèle est connue, le modèle peut être ajusté par régression linéaire en transformant \(f(t)\) en \(g(t) = logit (\frac{f(t)}{K})\).

\[\operatorname{logit}\left(\frac{1}{1+e^{-r(t - t_0)}}\right)=\ln \left(\frac{1}{e^{-r(t - t_0)}}\right)= r t - t_0\]

Ici, la capacité est inconnue, le modèle doit alors être ajusté avec des algorithmes d’optimisation. Avec des hypothèses résonnables sur les données, il existe des résultats sur l’existance du minimum considéré. papier

L’algorithme d’optimisation utilisé est celui de Nelder-Mead.

Distribution des paramètres et calcul d’incertitudes

La distribution des paramêtres optimaux du modèle est calculé par Bootstrap. Les échantillons Boostrap sont tirés avec une distribution linéaire, accordant plus d’importance aux données récentes qu’aux autres. La courbe centrale des prédictions correspond à la médiane des paramètres et les courbes supérieures et inférieures respectivement aux 1er et 3ème quantiles.

Distribution des paramètres

Travail à venir

• Remarque sur les prédictions du modèle de Verhulstthe:

Le modèle de Verhulstthe est assez instable dans la phase de croissance exponentielle de la maladie. Le modèle à tendance à sous estimer la phase de croissance esponentielle du virus.

Nouveau modèle de croissance

Le nouveau modèle développé conciste à avoir deux modes de croissance du virus.

1. Croissance exponentielle: \(f(t) = e^{r_1t}\)
2. Croissance logistique: \(f(t)=K \frac{1}{1+e^{-r(t - t_0)}}\)

Le modèle final de l’évolution du nombre de cas est:

\[f(t) = (1-y(t)) \ e^{r_1t} + y(t) \ \big(\ a + K \frac{1}{1+e^{-r_2(t - t_0)}} \big)\]

\(\cdot \ y(t)= 0\) pour la croissance la phase de croissance exponentielle, 1 sinon.

Cette modélisation permet de prendre en compte la phase avant et après confinement grâce à la variable booléenne \(y\). La difficulté est d’apprendre l’instant \(t_1\) pour lequel cette variable passe de \(0\) à \(1\).

Afin de garder la continuité de la fonction et de sa dérivé en \(t=t_1\), \(y(t_1)_-=0\) et \(y(t_1)_+=1\) il faut que:

1. \[f(t{_1})_- = f(t{_1})_+ \implies a = e^{r_1t} - K \frac{1}{1+e^{-r_2(t_1 - t_0)}}\]
2. \[f'(t{_1})_- = f'(t{_1})_+ \implies K= \frac{r_1}{r_2} \ e^{r_1t} \ \frac{ 1+e^{ - r_2 (t_1 - t_0) }}{1 - \frac{1}{1+e^{-r_2(t_1 - t_0)}}}\]

Différence entre les deux modélisations